En 1920, el abuelo de Carla, Virginio Bruni Tedeschi fundó en Italia la compañía CEAT, un emporio de la fabricación de goma que siempre estuvo segunda después de Pirelli. A mediados de los 70, su padre , un coleccionista de arte y director artístico del Teatro Regio de Torino, vendió la empresa para mudarse a París y dedicarse a componer música.